Почему компьютер работает, а монитор не включается?

Раз системный блок оживает, а на экране просто чёрный фон - причину нужно искать по цепочке "видеокарта - кабель - монитор", а не в блоке питания.

Проверьте по очереди:

• Кабель и разъём. Отсоедините и снова плотно вставьте кабель с обеих сторон, попробуйте другой порт на видеокарте (HDMI вместо DisplayPort или наоборот) и по возможности другой кабель - они выходят из строя чаще, чем кажется.
• Источник сигнала на самом мониторе. У многих моделей несколько входов, и кнопка меню могла случайно переключить на пустой - через кнопки на корпусе монитора выберите нужный вход вручную.
• Разъём на плате вместо видеокарты. Если у вас отдельная видеокарта, а кабель по привычке воткнут в выход материнской платы, сигнала не будет вообще, эти два выхода не связаны между собой. Переставьте кабель в разъём именно на видеокарте.
• Сама видеокарта. Откройте корпус и убедитесь, что карта плотно сидит в слоте, а дополнительное питание (6 или 8 pin) подключено - от вибрации или переноски компьютера разъём иногда подсаживается.

Если после всех проверок экран по-прежнему чёрный, а на мониторе горит индикатор ожидания сигнала - вероятна неисправность самой видеокарты или матрицы монитора. Проверить это просто: подключите монитор к другому устройству (ноутбуку) или к вашему компьютеру подключите заведомо рабочий монитор - так сразу станет ясно, какая половина связки виновата.